La divisibilidad en 1.º de ESO parece un tema de memorizar y no lo es. Los criterios se aprenden en una tarde; lo que de verdad se atasca es decidir si un problema pide el máximo común divisor o el mínimo común múltiplo. Por eso esta ficha dedica un ejercicio entero a elegir sin resolver nada.
La pista está en el enunciado
Si algo se reparte, se corta o se agrupa en partes iguales, es m.c.d. Si algo se repite y hay que ver cuándo coincide, es m.c.m. Repartir lápices y gomas en lotes iguales, frente a dos autobuses que salen cada doce y cada dieciocho minutos: con esos dos ejemplos se ordena el tema entero.
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Una comprobación de dos segundos
El m.c.d. nunca puede ser mayor que el menor de los números, y el m.c.m. nunca menor que el mayor. Si sale al revés, hay un error, y se detecta sin repetir la factorización.
El número que engaña
El 91 parece primo: no es par, no acaba en cinco y sus cifras no suman múltiplo de tres. Hay que llegar hasta el 7 para descubrir que no lo es. Está en la ficha a propósito, porque enseña que el criterio rápido tiene un límite.
Por qué esto sostiene las fracciones
El mínimo común múltiplo es exactamente lo que hace falta para sumar fracciones de distinto denominador. Si aquí falla, allí fallará también, y conviene resolverlo en este orden y no al revés.
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Divisibilidad, m.c.d. y m.c.m. · 1.º de ESO (PDF con solucionario)
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Los criterios de divisibilidad a mano
Cada criterio del 2 al 11 con un ejemplo comprobado, y debajo los 25 números primos menores que 100. Para factorizar rápido, que es lo que piden el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor.
Lámina para el aula
Criterios de divisibilidad
Del 2 al 11 con ejemplo, y los 25 primos menores que 100. A4. Versión para colorear.
Con qué sigue
El paso siguiente son las fracciones, que usan el m.c.m. constantemente. Y el bloque numérico se cierra con las potencias y raíces. Índice en 1.º de ESO.
Los criterios que de verdad hacen falta
Los de 2, 3, 5, 9 y 10 cubren casi todo. El de 3 y el de 9 se resuelven sumando las cifras, y conviene practicarlos con números largos para que se vea que funcionan siempre: 918 es múltiplo de nueve porque 9 + 1 + 8 son 18, sin dividir nada.
Para qué sirve factorizar
La descomposición en factores primos parece un trámite y es lo que hace que el m.c.d. y el m.c.m. salgan casi solos. Además explica por qué dos números sin factores comunes tienen máximo común divisor 1: no es que no se pueda calcular, es que no comparten nada.
Un número que engaña
El 91 no es par, no acaba en cinco y sus cifras no suman múltiplo de tres, así que parece primo. Hay que llegar al 7 para descubrir que no lo es. Está en la ficha a propósito: enseña que los criterios rápidos tienen un límite y que a veces hay que seguir probando.
Dos ejemplos que ordenan el tema
Repartir 24 lápices y 36 gomas en lotes iguales es máximo común divisor. Dos autobuses que salen cada doce y cada dieciocho minutos y hay que ver cuándo coinciden es mínimo común múltiplo. Con esos dos casos en la cabeza, el ejercicio de decidir cuál toca se resuelve sin dudar, y con él la mayoría de los problemas del examen.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se sabe si hay que usar m.c.d. o m.c.m.?
Mirando qué pide el enunciado: repartir o cortar en partes iguales lleva al m.c.d.; coincidir o repetirse a la vez lleva al m.c.m. La ficha entrena esa decisión antes de calcular.
¿Qué criterios de divisibilidad hay que saberse?
Los de 2, 3, 5, 9 y 10 cubren prácticamente todo lo que se pide en 1.º. El de 9 y el de 3 se resuelven sumando las cifras.
¿Y si dos números no tienen factores comunes?
Entonces el m.c.d. es 1 y el m.c.m. es el producto de los dos. No es un error: significa que son primos entre sí, y hay un caso así en la ficha.
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