El teorema de Tales en 3.º de ESO deja de ser un dibujo con dos rectas y unas paralelas para convertirse en una herramienta: medir alturas imposibles, leer mapas, calcular superficies reales a partir de un plano. Esta ficha lo trabaja desde ese lado práctico, con un error que se repite en todas las clases —pensar que si los lados se duplican el área también se duplica— como hilo conductor.
Semejanza: multiplicar, nunca sumar
La idea que sostiene toda la unidad es sencilla de enunciar y difícil de interiorizar: dos figuras son semejantes cuando cada lado de una es el de la otra multiplicado por el mismo número. No sumado. Un triángulo de lados 3, 4 y 5 no se parece en forma a uno de 5, 6 y 7, aunque a cada lado se le hayan sumado dos unidades.
La ficha propone un procedimiento que evita las dudas: ordenar los lados de menor a mayor en las dos figuras y dividir cada pareja. Si los tres cocientes coinciden, son semejantes. En uno de los ejercicios, dos de los cocientes coinciden y el tercero no, precisamente para comprobar que se hacen las tres divisiones y no solo dos.
Lo que incluye
- Resumen de semejanza, teorema de Tales, posición de Tales y escalas, con la regla de las áreas (k²) y los volúmenes (k³).
- Ejercicios para decidir si dos triángulos son semejantes, hallar segmentos con Tales y resolver un triángulo en posición de Tales.
- Planos a escala 1:200 y mapas a escala 1:50 000, en los dos sentidos.
- Dos problemas de alturas: el de la sombra y el del espejo, que es el mismo razonamiento con un montaje menos evidente.
- Solucionario completo y hoja de registro con seis criterios observables.
El reto del A4 al A3
Cualquiera que haya usado una fotocopiadora conoce la opción de ampliar al 141 %. La ficha termina preguntando por qué ese número y no el 200 %, si un A3 es justo el doble que un A4. Para responder hay que calcular áreas, compararlas y darse cuenta de que duplicar la superficie exige multiplicar los lados por la raíz de dos.
Es una forma de que la regla del k² deje de ser algo que se memoriza para el examen y pase a explicar un objeto que el alumnado tiene delante todos los días en el instituto.
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Fichas del teorema de Tales y semejanza de 3.º de ESO
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Quien necesite reforzar la base puede empezar por la ficha de semejanza y teorema de Tales de 2.º de ESO, más centrada en la razón de semejanza. Y si buscas más temas del curso, están todos en 3.º de ESO.
Ideas para trabajarla
El problema del espejo se entiende mucho mejor si se hace de verdad: un espejo pequeño en el suelo del patio, un alumno que se aleja hasta ver reflejado el borde del tejado y un metro para medir las dos distancias. Con eso se calcula la altura del edificio en diez minutos.
En casa, las escalas dan mucho juego con un mapa de carreteras o con la aplicación de mapas del móvil: elegir dos pueblos, medir en pantalla y comprobar la distancia real con la barra de escala. Si los números no cuadran, casi siempre es porque se han mezclado centímetros y kilómetros a mitad de cuenta.
Para el profesorado, el ejercicio 7a es un buen termómetro rápido: se puede plantear al inicio de la clase, sin más contexto, y ver cuántos lo detectan.
Dudas habituales
¿Qué entra del teorema de Tales en 3.º de ESO?
El enunciado del teorema, los triángulos en posición de Tales, los criterios de semejanza, las escalas y la relación entre la razón de semejanza y las áreas y volúmenes de figuras semejantes.
¿Por qué las áreas se multiplican por k²?
Porque un área es el producto de dos longitudes, y cada una de ellas se ha multiplicado por k. Un cuadrado de lado 2 tiene cuatro veces la superficie de uno de lado 1, no el doble.
¿Hace falta calculadora?
No. Todos los ejercicios están pensados para resolverse a mano, con números que permiten centrarse en el razonamiento.
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