Hay un experimento que se puede hacer cualquier día de sol con una cinta métrica: medir tu sombra, medir la de un edificio y calcular su altura sin subir. Funciona porque los rayos del sol llegan paralelos y los dos triángulos tienen los mismos ángulos. Estas fichas de semejanza y teorema de Tales para 2.º de ESO terminan justamente ahí, con ese reto, pero empiezan por lo que hace falta para que salga bien.
Misma forma, distinto tamaño: las dos condiciones
Dos figuras son semejantes cuando tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales. Las dos cosas, no una. El ejercicio de comprobación de la ficha incluye un par de rectángulos que parecen semejantes y no lo son, porque una de las dos razones no coincide, y basta con eso para descartarlos.
Escribir la proporción sin cruzar los términos
El error más frecuente del tema no está en las cuentas: está en emparejar un lado con el que no le corresponde. La ficha insiste en escribir siempre arriba los lados de la figura pequeña y abajo los de la grande, y en identificar los correspondientes por el ángulo, no por dónde caen en el dibujo, porque una de las dos figuras suele venir girada a propósito.
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Semejanza y teorema de Tales: fichas de 2.º de ESO
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Tales en dos formatos: paralelas y triángulo
El teorema se presenta en sus dos presentaciones habituales: varias rectas paralelas cortando dos secantes, y una paralela a la base dentro de un triángulo. Son la misma idea y el mismo cálculo, pero los enunciados de examen las plantean de forma distinta y conviene haber visto las dos antes de encontrárselas.
Escalas: el uso cotidiano del tema
Un plano a 1:200, un campo a 1:1.500 y un mapa a 1:50.000. Tres ejercicios que obligan a manejar el cambio de unidades junto con la proporción, que es exactamente lo que hay que hacer para interpretar un plano de una vivienda o calcular una distancia en un mapa de senderismo.
Lo que más se falla: las áreas no crecen igual
Si la razón de los lados es k, la de las áreas es k al cuadrado y la de los volúmenes, k al cubo. Ampliar una figura al doble multiplica su superficie por cuatro, no por dos. Es la pregunta que más aparece en pruebas externas y la que más alumnos contestan mal después de haber resuelto bien todo lo anterior, así que la ficha la trabaja en un ejercicio propio y la vuelve a plantear en la caza del error.
El criterio de los dos ángulos resuelve casi todo
De los tres criterios de semejanza de triángulos, el de los dos ángulos iguales es el que se usa en la inmensa mayoría de los problemas y el más rápido de comprobar: dos paralelas cortadas por una secante ya regalan un par. Saber eso ahorra medir lados que no hacía falta medir.
Adónde lleva este tema
La semejanza es la base directa de la trigonometría del triángulo rectángulo de 4.º de ESO: las razones seno, coseno y tangente existen porque en triángulos semejantes esas proporciones no cambian. Antes conviene tener resueltas las fichas del teorema de Pitágoras.
Preguntas frecuentes
¿Qué se trabaja en estas fichas de semejanza y teorema de Tales?
Razón de semejanza, criterios de semejanza de triángulos, teorema de Tales en sus dos presentaciones, escalas de planos y mapas, y la relación entre razón de longitudes, de áreas y de volúmenes.
¿Hacen falta instrumentos de dibujo?
No para resolverlas. Basta con lápiz y regla si se quiere dibujar el esquema de los triángulos, que ayuda mucho. Para el reto final sí hace falta una cinta métrica.
¿Vienen las proporciones planteadas en el solucionario?
Sí. En cada problema se muestra primero la proporción tal como debe escribirse y después el resultado, porque lo que hay que corregir muchas veces es el planteamiento, no la cuenta.
Encontrarás el resto en las fichas de Matemáticas de 2.º de ESO.
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