Los números racionales y las potencias de 3.º de ESO son, en realidad, las fracciones de siempre con dos piezas nuevas: la fracción generatriz de un decimal periódico y los exponentes negativos. Parece poco, pero es el tema donde más se nota si la base de 1.º y 2.º está firme. Esta ficha lo aborda con ejercicios que obligan a pensar antes de calcular.
Antes de dividir, mira el denominador
El primer ejercicio pide decidir si una fracción dará un decimal exacto o periódico sin hacer la división. La regla es conocida: si el denominador de la fracción irreducible solo tiene doses y cincos, el decimal es exacto. Lo interesante es la trampa que esconde uno de los apartados, 5/20, que parece periódico hasta que se simplifica.
Ese detalle enseña algo que va más allá del tema: las reglas matemáticas tienen condiciones, y aplicarlas sin comprobarlas lleva a errores que parecen de cálculo pero son de comprensión.
Contenido de las cuatro páginas
- Un resumen de qué es un número racional, cómo se calcula la generatriz de un periódico puro y de uno mixto, y cómo funcionan los exponentes negativos, con cuatro trucos para no equivocarse.
- Tipos de decimal, cinco fracciones generatrices, cuatro operaciones combinadas con fracciones, potencias de exponente negativo y propiedades de las potencias.
- Una suma con periódicos, tres errores frecuentes para corregir, un problema de «fracción de lo que queda» y otro con un decimal periódico en el enunciado.
- Solucionario razonado y hoja de registro para quien corrige.
¿De verdad 0,999… es igual a 1?
El reto final es una de esas preguntas que generan discusión en cualquier grupo de 3.º. La ficha pide demostrarlo de dos maneras: con la fracción generatriz, que da 9/9, y multiplicando por tres el decimal de un tercio. Los dos caminos llevan al mismo sitio.
El objetivo no es cerrar el debate con una regla, sino que el alumnado entienda que «infinitos nueves» no son muchos nueves, sino todos. Es una primera aproximación informal a la idea de límite que verán en Bachillerato.
Lámina: potencias y raíces de un vistazo
Los cuadrados perfectos, los cubos y las propiedades de las potencias en una sola página. En 3.º de ESO conviene tenerla delante al operar con potencias de base fraccionaria: las mismas propiedades valen para los racionales, solo cambia que el exponente afecta al numerador y al denominador. Ábrela en grande o descarga la versión en blanco para completarla.
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Fichas de números racionales y potencias de 3.º de ESO
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Si las operaciones con fracciones todavía fallan, la ficha de números racionales de 2.º de ESO trabaja el signo y la jerarquía de operaciones con más calma. Para seguir con el curso, tienes el resto en las fichas de Matemáticas de tercero.
Consejos para acompañar
El problema del depósito es el más revelador. Quien calcula dos quintos del total en lugar de dos quintos de lo que quedaba llega a 450 litros, una respuesta que parece razonable. Merece la pena dibujar una barra dividida en partes: lo que se gasta el lunes, lo que queda, y lo que se gasta el martes de esa parte. Con el dibujo, el error desaparece.
Con los exponentes negativos, un recurso sencillo es construir una tabla de potencias de 2 hacia abajo: 8, 4, 2, 1, y seguir dividiendo entre dos. El patrón lleva solo a 1/2, 1/4 y 1/8, y el exponente negativo cobra sentido sin necesidad de definiciones.
En clase, el ejercicio de errores funciona muy bien como discusión inicial: se proyecta la afirmación de que 2 elevado a menos 3 es menos 8 y se pide que alguien convenza al resto de por qué no.
Preguntas que suelen hacernos
¿Qué se ve de números racionales en 3.º de ESO?
La clasificación de los decimales, la fracción generatriz de periódicos puros y mixtos, las operaciones combinadas con fracciones y las potencias de exponente entero, incluidos los negativos.
¿Cómo se calcula la generatriz de un periódico mixto?
En el numerador va el número completo sin coma menos la parte que no se repite; en el denominador, tantos nueves como cifras tiene el periodo seguidos de tantos ceros como cifras hay entre la coma y el periodo.
¿Un exponente negativo da un resultado negativo?
No. Lo que hace es invertir la base. El signo del resultado depende de la base: solo es negativo si la base lo es y el exponente es impar.
Si notas que fallan las propiedades básicas antes de entrar en los racionales, conviene repasar primero con las fichas de potencias de 2.º de ESO.
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