La regla de Ruffini y la factorización de polinomios en 4.º de ESO son la herramienta que más se usa después: en las fracciones algebraicas, en las inecuaciones de segundo grado, en el estudio de funciones de Bachillerato. Esta ficha las trabaja con un objetivo concreto: que el alumno factorice un polinomio de grado tres sabiendo qué busca en cada paso, no probando divisores al azar.
Raíz y factor, la misma cosa vista desde dos lados
La idea central del tema es el teorema del resto. Si al sustituir x por un número el polinomio vale cero, ese número es una raíz y el binomio correspondiente es un factor. Parece evidente dicho así, pero la confusión entre raíz y factor es el error más frecuente de la unidad: pensar que el factor x + 1 corresponde a la raíz 1 en lugar de a menos 1.
Por eso uno de los ejercicios de corrección presenta exactamente ese fallo. Quien lo detecta tiene el concepto; quien no, está aplicando Ruffini de forma mecánica.
Recorrido de la ficha
- Valor numérico de un polinomio en tres puntos.
- Suma, producto y dos identidades notables.
- Dos divisiones por Ruffini, una de ellas con un término que falta y que obliga a escribir un cero.
- Tres aplicaciones del teorema del resto, incluida la de hallar un parámetro para que la división sea exacta.
- Cinco factorizaciones de dificultad creciente: diferencia de cuadrados, cuadrado de una diferencia, factor común y dos de grado tres.
- Una fracción algebraica para simplificar, un problema de optimización con una caja de cartón y otro de tres números consecutivos.
La caja de cartón
El problema más interesante parte de una lámina cuadrada de veinte centímetros. Se recorta un cuadrado de lado x en cada esquina y se doblan los bordes para hacer una caja sin tapa. El volumen resulta ser un polinomio de grado tres, y al darle valores se descubre que no crece siempre: con x igual a 3 cabe más que con 5.
No hace falta nada más que sustituir, pero el ejercicio anticipa la optimización de Bachillerato y obliga a pensar qué significa la x en la caja. Además, se puede construir con una hoja de papel y comprobar a simple vista qué caja es más grande.
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Fichas de polinomios, Ruffini y factorización de 4.º de ESO
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Si las identidades notables no salen todavía con soltura, conviene repasar antes la ficha de polinomios e identidades notables de 3.º. Y para aplicar la factorización a otro contexto, las inecuaciones de 4.º de ESO la usan en las de segundo grado.
Para acompañar el trabajo
El fallo número uno de Ruffini es olvidar el cero cuando falta un término. En el ejercicio 3b el polinomio no tiene término en x, y si no se escribe el cero, el cociente sale mal aunque todo lo demás esté bien hecho. Antes de empezar cualquier división conviene pedir que se escriban los coeficientes en voz alta, uno por uno, empezando por el de mayor grado.
Otra costumbre que ahorra disgustos es comprobar cada factorización multiplicando los factores. Si vuelve el polinomio de partida, está bien. Se tarda un minuto y convierte al alumno en su propio corrector.
El reto final se presta a hacerlo en grupo: construir un polinomio a partir de sus raíces, desarrollarlo y descubrir que es el mismo del ejercicio 5e. Después, comparar el producto de las raíces con el término independiente. Ahí se entiende por qué los candidatos de Ruffini salen de los divisores de ese término.
Respuestas a dudas comunes
¿Para qué sirve la regla de Ruffini en 4.º de ESO?
Para dividir un polinomio entre un binomio de la forma x menos a de forma rápida y, sobre todo, para encontrar raíces enteras y factorizar polinomios de grado tres o superior.
¿Qué números hay que probar en Ruffini?
Los divisores del término independiente, positivos y negativos. Si el polinomio tiene coeficientes enteros, cualquier raíz entera está entre ellos.
¿Qué hago cuando el cociente queda de grado dos?
Aplicar la fórmula de la ecuación de segundo grado. Da las dos raíces que faltan o indica que no hay más raíces reales, sin necesidad de seguir probando divisores.
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