Funciones lineales y afines: pendiente, ordenada y gráfica

Una función afín es una recta, y una recta está determinada por dos números: la pendiente, que dice cuánto sube o baja, y la ordenada en el origen, que dice por dónde corta al eje vertical. Con esos dos datos se dibuja sin tabla y se interpreta sin calcular, que es lo que se pide de verdad en 3.º de ESO.

Lineal y afín no son lo mismo

La función lineal pasa por el origen; la afín, no. La distinción parece menor y tiene consecuencias: solo la lineal representa una proporcionalidad directa, y solo en ella el cociente entre las dos magnitudes es constante. Cuando el enunciado habla de un precio con cuota fija, la función es afín y la proporcionalidad se ha roto. Ese es el primer bloque de la ficha.

La pendiente se lee en la gráfica sin fórmula

Avanzando una unidad a la derecha y midiendo cuánto se sube o se baja. Si sube, la pendiente es positiva; si baja, negativa; si la recta es horizontal, vale cero. Practicarlo así, contando cuadrículas, evita que la pendiente quede como un número que sale de una fórmula y no significa nada.

Qué significa la pendiente cuando hay contexto

En una tarifa de móvil, el precio por gigabyte. En un depósito que se vacía, los litros que se pierden cada minuto. En un viaje, la velocidad. La pendiente siempre es una razón de cambio, y pedir al alumno que la traduzca a palabras del enunciado es la pregunta que separa a quien ha entendido de quien ha calculado. La ficha la incluye en todos los problemas.

Material para descargar

Funciones lineales y afines · 3.º de ESO (PDF con solucionario)

Cuatro páginas con ocho bloques, un reto de interpretación de una gráfica y el solucionario razonado, con la lectura en palabras de cada pendiente.

Dos puntos bastan, pero conviene un tercero

Una recta queda definida con dos puntos y se dibuja con dos puntos. El tercero no hace falta para dibujar: hace falta para comprobar. Si los tres no están alineados, hay un error de cálculo y se ve al instante. Es el equivalente gráfico de volver a multiplicar una factorización, y cuesta lo mismo: casi nada.

Antes y después

Conviene llegar con la proporcionalidad resuelta, porque la función lineal es su traducción gráfica, y con las ecuaciones de primer grado asentadas para despejar. Después llegan los sistemas vistos como corte de dos rectas. Índice completo en Secundaria.

Rectas paralelas y rectas que se cortan

Dos rectas con la misma pendiente son paralelas y nunca se cortan; si además coinciden en la ordenada, son la misma recta. Con pendientes distintas se cortan en un punto, y ese punto es la solución del sistema formado por sus dos ecuaciones. Verlo aquí, en gráfica, hace que el método de resolución de sistemas deje de ser una mecánica ciega y pase a tener significado.

La gráfica que no pasa por cero dice mucho

Cuando la recta corta el eje vertical por encima del origen, casi siempre hay una cantidad fija: una cuota de alta, un desplazamiento inicial, un depósito que ya tenía agua. Preguntar qué representa ese punto en el enunciado, y no solo cuánto vale, es la manera de que la ordenada en el origen deje de ser un número que se copia de la fórmula.

Preguntas frecuentes

¿Qué diferencia hay entre función lineal y función afín?

La lineal pasa por el origen de coordenadas y su ordenada en el origen es cero; la afín corta al eje vertical en otro punto. Solo la lineal representa una proporcionalidad directa.

¿Cómo se calcula la pendiente con dos puntos?

Dividiendo la variación vertical entre la variación horizontal entre esos dos puntos. En la gráfica equivale a contar lo que sube la recta al avanzar una unidad hacia la derecha.

¿Qué significa que la pendiente sea negativa?

Que la función es decreciente: al aumentar la variable, el valor disminuye. En un contexto real suele indicar un consumo, un gasto o un vaciado.

Escrito por

Maestro Mateo

Maestro de Educación Primaria con la especialidad de Inglés y más de quince años de aula. En Refuerzo Educativo se ocupa del material de idiomas y de la parte de evaluación: pruebas iniciales, solucionarios y hojas de registro.

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