Un polinomio no es más que una suma de monomios, y casi todo el trabajo de 3.º de ESO consiste en operar con ellos sin perder de vista dos cosas: el grado y los términos semejantes. Quien tiene claro qué se puede sumar y qué no, opera; quien no, mezcla grados y arrastra el error hasta el final.
Solo se suman los términos semejantes
Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal con el mismo exponente. Ni el cuadrado se suma con el cubo ni el término en x con el independiente. Parece obvio dicho así y deja de serlo cuando hay ocho términos y un signo menos delante de un paréntesis. Por eso el primer bloque de la ficha es de reconocer semejantes, no de operar.
El menos delante del paréntesis
Cambia el signo de todos los términos, no solo del primero. Es el error más frecuente de toda la unidad y no se corrige explicándolo: se corrige haciendo veinte restas seguidas y comprobando. La ficha lo trata con una serie corta y repetitiva, y el solucionario marca el signo cambiado en cada término para que el alumno vea dónde se le escapó.
Las identidades notables, en los dos sentidos
Cuadrado de una suma, cuadrado de una diferencia y suma por diferencia. Lo habitual es practicarlas solo hacia delante, desarrollando, y así se estudian a medias. Su utilidad real está en el sentido contrario: reconocer una expresión ya desarrollada y volver a plegarla. Ahí es donde sirven para factorizar y para simplificar fracciones algebraicas, que es lo que viene después.
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Polinomios e identidades notables: operar, desarrollar y factorizar
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Ruffini no es un truco, es una división
La regla de Ruffini abrevia la división de un polinomio entre x menos un número, y funciona porque todos los pasos de la división larga están ahí, escritos en una tabla. Presentarla como una receta hace que se aplique donde no cabe —por ejemplo, dividiendo entre un polinomio de grado dos—. En la ficha aparece después de la división larga, precisamente para que se vea de dónde sale.
Antes y después
Hace falta soltura con las potencias, porque al multiplicar monomios se suman exponentes. El destino natural son las ecuaciones de segundo grado, que se resuelven factorizando siempre que se puede. Índice completo en Secundaria.
Cómo se comprueba una factorización sin preguntarle a nadie
Multiplicando otra vez. Si al desarrollar el producto no sale el polinomio de partida, la factorización está mal, y se sabe en treinta segundos. Es la costumbre que más nota recupera en un examen, porque convierte un ejercicio de confianza en uno de comprobación, y sin embargo casi nadie la tiene incorporada al llegar a 3.º.
El polinomio como función, un paso antes de 4.º
Dar valores a la variable y ver qué sale convierte la expresión en algo que se puede dibujar. Ahí se entiende que las raíces no son un resultado abstracto: son los puntos donde la curva cruza el eje horizontal. La ficha lo insinúa en el último bloque, sin entrar en el estudio de funciones polinómicas, que corresponde al curso siguiente, pero dejando la idea colocada.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es el grado de un polinomio?
El mayor de los grados de sus monomios, una vez reducidos los términos semejantes. Reducir primero es imprescindible: un término puede desaparecer al sumarse con otro y bajar el grado del conjunto.
¿Cuándo se puede aplicar Ruffini?
Cuando se divide entre un binomio del tipo x menos un número. Para divisores de grado dos o superior hay que hacer la división larga.
¿Para qué sirve factorizar?
Para resolver ecuaciones igualando cada factor a cero, para simplificar fracciones algebraicas y para hallar las raíces de un polinomio. Es la herramienta que enlaza esta unidad con casi todas las siguientes.
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