Progresiones aritméticas y geométricas 4.º ESO: fichas en PDF

Detrás de este tema hay algo que se usará fuera del instituto mucho después del examen: el interés compuesto, que es una progresión geométrica con otro nombre. Entenderlo aquí es la diferencia entre firmar un préstamo sabiendo qué se firma y no saberlo.

Restar o dividir, y decidir en diez segundos

Antes de aplicar ninguna fórmula hay que mirar dos términos consecutivos. Si la resta es constante, es aritmética. Si el cociente es constante, es geométrica. Y si no ocurre ninguna de las dos cosas, no es una progresión y las fórmulas no valen: ese tercer caso es el que la ficha pregunta primero, porque es el que nadie comprueba.

El (n − 1) que se cae de la fórmula

Para llegar al término décimo se suman nueve diferencias, no diez, porque el primero ya está puesto. Es el fallo más repetido del tema y se detecta con un caso pequeño: en 2, 5, 8, el tercero es 2 más dos veces 3. Quien hace esa comprobación mental no vuelve a equivocarse.

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Progresiones aritméticas y geométricas · 4.º de ESO (PDF con solucionario)

Cuatro páginas con ocho bloques, problemas de ahorro e interés compuesto, el reto del tablero de ajedrez y el solucionario razonado con los resultados redondeados a céntimos.

Subir un 20 % no es multiplicar por 0,20

Es multiplicar por 1,20, y bajar un 20 % es multiplicar por 0,80. Puesto así parece evidente y en el examen se falla igual, porque el enunciado dice «un 20 %» y la mano escribe 0,20. La ficha insiste con varios problemas encadenados hasta que el 1 más i deja de ser una fórmula y pasa a ser un reflejo.

Subir un 10 % y bajarlo no deja el precio igual

Queda un 1 % por debajo, porque el segundo porcentaje se aplica sobre una cantidad distinta. Casi todo el mundo apuesta lo contrario la primera vez, y por eso es el ejercicio que más se recuerda de la ficha. Es también la base de muchas ofertas: el orden de los porcentajes no salva la diferencia.

Sumar infinitos números y que salga uno finito

Cuando la razón está entre −1 y 1, la suma infinita existe y se calcula con una fracción de dos líneas. No es un truco: los términos se hacen tan pequeños que dejan de aportar, y el total se acerca a un número sin llegar a pasarlo. Un medio más un cuarto más un octavo suma 1, y verlo escrito cambia la idea intuitiva de que sumar siempre agranda.

Doblar un papel veinticinco veces

El reto propone doblar una hoja, anotar las capas —2, 4, 8— y calcular cuántas habría tras veinticinco dobleces. Salen más de treinta y tres millones, y físicamente no se pasa de siete u ocho. Esa distancia entre lo que se puede hacer y lo que sale en el papel es la mejor definición de crecimiento exponencial que cabe en una tarde.

Su sitio en la programación

Apoya la parte de proporcionalidad y porcentajes de 2.º y conecta directamente con las funciones exponenciales, que son el mismo fenómeno visto en una gráfica. Todo el material de la etapa, en la página de Secundaria.

Preguntas frecuentes

¿Entran las progresiones en Matemáticas A y en B?

Sí, en las dos vías de 4.º, y con el mismo enfoque aplicado: crecimiento, ahorro e interés. La ficha no incluye demostraciones de las fórmulas, que corresponden a Bachillerato.

¿Cómo se calcula el interés compuesto?

Multiplicando el capital por uno más el tanto por uno, elevado al número de periodos. Al 3 % durante cinco años, 2 000 € se convierten en 2 000 por 1,03 elevado a 5.

¿Cuándo se puede sumar una progresión geométrica infinita?

Solo cuando el valor absoluto de la razón es menor que 1. Si es 1 o mayor, los términos no se hacen pequeños y la suma crece sin límite.

Escrito por

Maestro Mateo

Maestro de Educación Primaria con la especialidad de Inglés y más de quince años de aula. En Refuerzo Educativo se ocupa del material de idiomas y de la parte de evaluación: pruebas iniciales, solucionarios y hojas de registro.

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